题目

已知双曲线（标准方程,这里就省略不打了）,F1,F2为焦点,P为双曲线上一点,且PF1与PF2向量的数量积的最小值取值范围是[-3a^2,-a^2],球双曲线离心率范围?
麻烦写下思路过程,

提问时间：2021-03-13

答案

设P(x,y)
PF1与PF2的数量积=（x+c,y)(x-c,y)=x^2-c^2+y^2
由x^2/a^2-y^2/b^2=1得
y^2=x^2*b^2/a^2-b^2
带入上式,再将b^2=c^2-a^2带入得：
数量积=c^2/a^2*x^2+a^2-2c^2
(设数量积等于t)
又c=ea,
t=e^2*x^2+a^2-2e^2*a^2
移项
x^2=(t+2e^2*a^2-a^2)/e^2
对双曲线上任意一点：x^2>=a^2
即：(t+2e^2*a^2-a^2)/e^2>=a^2
整理：
e^2*a^2>=a^2-t
e^2>=1-t/a^2
t:[-3a^2,-a^2]
-t/a^2:[1,3]
e^2>=2
e>=根号2