题目

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)两点与Y轴交于C(0,-2).
（1）求这条抛物线的解析式顶点M的坐标
（2）求四边形ABQC的坐标
（3）在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.
（4）点N在X轴上,在抛物线上是否存在点M,使得以A、C、Q、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有满足条件的M、N的坐标：若不存在,请说明理由.

提问时间：2021-03-13

答案

（1）
将点A、B、C各代入y=ax²+bx+c,得
{0=(-1)²a+(-1)b+c;
{0=2²a+2b+c;
{-2=c
解这个方程组,得
{a=1
{b=-1
{c=-2
所以该抛物线解析式为 y=x²-x-2
由二次函数顶点式可得
点M（-b/2a,(4ac-b²/4a)
解得：点M（0.5,-4.5）
（2）条件不完备……没说点Q是什么
（3）
①∠ACP为直角
∴AC^2+PC^2=AP^2
因为A（-1,0）,C（0,-2）
∴AC^2=5
同理,设点P（x,y）
∴PC^2=x^2+(y+2)^2=x^2+(y^2+4+4y)
同理
AP^2=(x+1)^2+y^2=x^2+1+2x+y^2
∵AC^2+PC^2=AP^2
∴5+ x^2+y^2+4+4y= x^2+1+2x+y^2
化简,得4y+8=2x
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上,
∴可列方程组
{4y+8=2x
{ y=x²-x-2
解得{x=0,y=-2,或{x=2/3, y=-5/4
∵对称轴为直线x=-b/2a,即直线x=0.5
∴点（0,-2）在对称轴左边,不符合题意
∴点P（2/3,-5/4）,符合题意
②∠PAC为直角
∴PA^2+AC^2=PC^2
∴(x^2+1+2x+y^2)+5= x^2+y^2+4+4y
化简,得 2x=3+4y
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上,
∴可列方程组
{2x+2=4y
{ y=x²-x-2
解得{x=-1,y=0,或{x=5/2, y=7/4
∴点（-1,0）在对称轴左边,不符合题意
∴点P（5/2,7/4）,符合题意
③∠APC为直角
∴PA^2+PC^2=AC^2
∴（x^2+1+2x+y^2）+ (x^2+y^2+4+4y)=5
化简,得
2x^2+2x+4y+2y^2=0
又因为点P在抛物线y=x²-x-2上,
∴可列方程组
{2x^2+2x+4y+2y^2=0
{ y=x²-x-2
实数范围内的解为
{x=-1,y=0 或{x=0, y=-2
两点均在对称轴轴左边,不符合题意
∴答点P（2/3,-5/4）和（5/2,7/4）
（4）Q点没有描述,无法解答
(以上纯手打,只是提供一种思路,谢谢.）
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