题目

有下列四个命题,（1）若a,b是不相等的有理数,则ab+a-b是无理数（2）若a,b是不相等的无理数,则a+b分之a-b是无理数（3）若a,b是不相等的有理数,则根号a+根号b是无理数（4）若a,b都为正有理数,而根号a和根号b都是无理数,则根号a+根号b也是无理数.正确命题给予证明,错误命题给予反例

提问时间：2021-03-13

答案

（1）若a,b是不相等的有理数,则ab+a-b是无理数.
错误.因为乘积ab是有理数,所以ab+a-b仍是有理数.
（2）若a,b是不相等的无理数,则(a+b)分之(a-b)是无理数.
错误.反例如：无理数a=2b≠0,那么此时：(a+b)分之(a-b)=(2b+b)分之(2b-b)=3分之1 为有理数.
（3）若a,b是不相等的有理数,则根号a+根号b是无理数.
错误.比如a=4,b=9,此时：根号a+根号b=根号4+根号9=2+3=5为有理数.
（4）若a,b都为正有理数,而根号a和根号b都是无理数,则根号a+根号b也是无理数.
正确.
反证法.假设根号a+根号b是有理数
那么不妨令根号a+根号b=n,其中n为正有理数,且n>根号a,n>根号b
那么：根号a=n- 根号b
上式两边平方得：a=(n-根号b)²
即：a=n²-2n根号b+b
2n根号b=n²+b-a （*）
由于根号b为正无理数,所以：2n根号b亦为正无理数
而n²+b-a为有理数
那么可知（*）式不成立
所以假设错误.
这就是说根号a+根号b是无理数.