题目

以三角形ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D（点C在圆外）.交BC于点E.EF垂直AB于点F.
以三角形ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D（点C在圆外）,交BC于点E.EF垂直AB于点F.AF等于3BF.BE等于2EC等于2.求角CDE的角度和CD的长度.（2012海淀高中一模试题）

提问时间：2021-03-13

答案

角CDE=60度,CD=3*根号13/13,理由如下：
连接AE、DE,设BF=x,则AF=3x,BE=2,CE=1,
角AEB为直径AB所对圆周角,所以角AEB为90度.
在Rt三角形BEF中,EF^2=BE^2-BF^2=4-x^2,
在Rt三角形AEF中,AE^2=AF^2+EF^2=9x^2+4-x^2=8x^2+4,
在Rt三角形ABE中,BE^2=4=AB^2-AE^2=16x^2-8x^2-4=8x^2-4,
解得x=1.
所以AB=4x=4,AE=2根号3,在Rt三角形ABE中可推知角ABE为60度.
圆割线CA先后交弧于D、A,割线CB先后交弧于E、B,
利用圆幂定理中的割线定理可知CD/CB=CE/CA.(1)
又因为三角形CDE与三角形CBA共顶角C,
所以三角形CDE与三角形CBA相似,角CDE=角ABE=60度.
在Rt三角形ACE中,由勾股定理解得CA=根号13.
将相应边长代入(1),得CD=3*根号13/13.