题目

几何题,求一点轨迹.
单位圆上一点P只在第一象限运动.过点P做切线与x、y轴分别相交于S、T两点.M是线段ST的中点,求M轨迹方程.我做的是1/x^2+1/y^2=1/4.椭圆

提问时间：2021-03-13

答案

单位圆：x^2+y^2=1
P(xp>0,yp>0),xp^2+yp^2=1
过P和圆心（0,0）的方程：y=yp*x/xp
因此,过点P的切线方程为：y-yp=-xp(x-xp)/yp
切线与x、y轴分别相交于S、T两点,则S(yp^2/xp+xp,0),T(0,yp+xp^2/yp)
M是线段ST的中点,M(x,y),则x=(yp^2/xp+xp)/2,y=(yp+xp^2/yp)/2
则yp^2+xp^2=2x*xp=1=2y*yp
则xp=1/(2x),yp=1/(2y)
所以xp^2+yp^2=1=1/(4x^2)+1/(4y^2)
所以M的轨迹方程为：1/x^2+1/y^2=4