题目

在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a²=b²+c²+√3bc.
（1）求A；
（2）设a=√3,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.

提问时间：2021-03-12

答案

（1）
∵ a²=b²+c²+√3bc.
利用余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-√3bc/(2bc)
即 cosA=-√3/2
∴ A=5π/6
（2）
a=√3
则b/sinB=c/sinC=a/sinA=√3/(1/2)=2√3
则 b=2√3sinB,c=2√3sinC
则S=(1/2)bc*sinA
=(1/2)*12sinBsinC*(1/2)
=3sinBsinC
则 S+3cosBcosC
=3(cosBcosC+sinBsinC)
=3cos(B-C)
∴ B=C时,S+3cosBcosC有最大值3
此时B=C=π/12