题目

已知f（x）=ax-lnx,x属于（0,e】,g(x)=lnx/x,a属于R.求证：在a=1时,f(x)>g(x)+1/2

提问时间：2021-03-12

答案

证明：
f（x）=x-lnx;
求导,得1-1/x；
令其等于0；可得x=1；便可知道,在（0,1]函数f(x)单调减,在[1,e]函数f(x)单调增,也即在x=1处是f(x)的最小值,f(x=1)=1-ln1=1.
同理对g(x)求导,得（1-lnx）/(x*x);
令其等于0；可得x=e；函数g(x)在（0,e]区间单调增；也就是说在x=e处函数g(x)取得最大值.g(x=e)=lne/e=1/e;
而e>2;也即1/e+1/2g(x)+1/2；得证