题目

已知g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在实数a，b，使g（x）同时满足下列两个条件：（1）g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；（2）g（x）的最小值是3．若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．

提问时间：2021-03-12

答案

∵g（x）=

x2+ax+b

x

，∴g′（x）=1-

b

x2

∵g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴g′（1）=0，∴b=1
∵g（x）的最小值是3
∴g（1）=1+a+b=3，∴a=1
综上，a=1，b=1．

求导函数，利用函数的单调性，可得g′（1）=0，利用g（x）的最小值是3，可得g（1）=0，由此即可得到结论．

本题考点：函数最值的应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的单调性与最值是关键．