题目
如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
+1时,求正方形的边长.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
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提问时间:2021-03-12
答案
(1)证明:∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2) ①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
(3) 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=
x,EF=
.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴(
)2+(
x+x)2=(
+1)2.
解得,x1=
,x2=-
(舍去负值).
∴正方形的边长为
.
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2) ①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
(3) 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=
| ||
2 |
x |
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在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴(
x |
2 |
| ||
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解得,x1=
2 |
2 |
∴正方形的边长为
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(1)由题意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易证出△AMB≌△ENB;
(2)①根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;
②根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长(如图);
(3)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,由题意求出∠EBF=30°,设正方形的边长为x,在Rt△EFC中,根据勾股定理求得正方形的边长为
.
(2)①根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;
②根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长(如图);
(3)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,由题意求出∠EBF=30°,设正方形的边长为x,在Rt△EFC中,根据勾股定理求得正方形的边长为
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正方形的性质;全等三角形的判定;勾股定理.
本题考查轴对称的性质和正方形的性质,是一道综合性的题目难度很大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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