题目

至少任取几个正整数,可以保证其中必存在六个数,他们的和是6的倍数

提问时间：2021-03-12

答案

所谓能被6整除的数,即能被3整除的偶数；据此我们把正整数分为2大类6小类.
一、奇数；除以3分别余（0,1,2）不妨称之曰：奇0,奇1,奇2.
二、偶数；除以3分别余（0,1,2,）同理称之曰：偶0,偶1,偶2.
看到这里相信你已经明白原理了,接下来就是穷举数数了.
我们数数的方法是考量最多取几个正整数,让其中任意6个之和都不能整除6,而再增多一个任意小类,则满足必有6个之和能被6整除.
1、不妨先考虑5个奇0,那么对应的偶0就只能有1个（如果有2个偶0,则4个奇0加两个偶0已满足）；
2、此时优先考虑奇1最多2个（否则3奇1加3个奇0满足）,偶1只能是0个；优先考虑偶1,亦最多2个,奇1同样0个,不影响总个数；
3、不论2为何种情况,偶2和奇2都只能取0.
此时总数字为：5+1+2=8个.
4、此时我们数了其中一种情况,相信原理方式什么的你都明白了,接下来只要利用穷举法和各种耐心,迟早得把它所有情况数完,得出正确结论.不过我的建议是,采用另外一种穷举,不妨采用先大胆假设,再找反例的方法.
即：假设任取9（即8+1）个正整数,题设满足.那么这九个数总共可能含有2~6类数字；再对其不同分类,逐一验证.例如先假设只有两类,考察下去会发现：5个奇0,4个偶2不满足题设,甚至5个奇0,5个偶2亦不满足；当然在5个奇0,5个偶2的情况下,任一小类的数字都不能再加.
5、故重新假设,任取11（即5+5+1）个正整数,题设满足.那么这11个数字包含2~6类数字.当然如果是2类,会出现6个相同小类数字,已满足.故从3类开始找反例.
结论：这是一个非常笨拙的方法,可是我找不到更好的方式加以证明,只能用穷举法.不过从数学感觉的角度来说,我深信11就是最终的答案.如果谁能找到一个非常简单明了的方式得出结论,请一定告诉我!万谢!
共勉!