题目

一个三棱锥和一个正四棱锥,它们的棱长相等.问：它们重叠一个侧面后还有几个暴露面?证明你的结论

提问时间：2021-03-12

答案

三棱锥4个面,四棱锥5个面.
侧面重合后还有6个面.
利用二面角来进行证明.
设边长为2
四棱锥底面对角线2√2,侧面的高√3,则对角线和从对角线的两个端点引的两条侧面上的高组成的等腰三角形的顶角就是重合面和四棱锥侧面的二面角.
求这个二面角的一半的正弦,是对角线的一半除以侧面高.sinA=√2/√3
三棱锥的一条边和这条边的两个端点引的两条侧面上的高组成的等腰三角形的顶角就是重合面和三棱锥侧面的二面角.
求这个二面角的一半的正弦,是边的一半除以侧面高.sinB=1/√3
(sinA)^2+(ainB)^2=1
可知A+B=90°
所以两个二面角的和就是180°,所以两个侧面共面.
同理,对侧的两个侧面也是共面的.
再加上重合的两个侧面.
那么还剩余的面数就是5+4-3=6个.
在写解题过程的时候,先作图,再叙述,这里只是讲解了解题方法.