题目

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

提问时间：2021-03-12

答案

（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=x2-4x+2lnx，∴f′(x)＝2x2−4x+2x(x＞0)，则f（1）=-3，f'（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-3；（Ⅱ）f′(x)＝2x2−2(a+1)x+2ax＝2(x−1)(x−a)x(x＞0)，由f'（x）...

（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求得函数的导函数，得到f（1）=-3，f'（1）=0，由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后对a分类求解函数的单调期间．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，关键是掌握导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．