题目

在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90度,AB=a,AD=3a
1,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90度,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin√5/3,又PA⊥平面ABCD,
PA=a
(1)求二面角P-CD-A的大小 arctg√5/3
(2)求点A到平面PBC的距离 a√2/2

提问时间：2021-03-12

答案

解
（1）在平面ABCD中,过A作AE⊥CD于E,连接PE
因为PA⊥平面ABCD
所以PE⊥CD
所以∠PEA为二面角P-CD-A的平面角
在Rt△AED中,AD=3a,∠ADE=arcsin√5/5
所以AE=AD*sin∠ADE=3a√5/5
在Rt△PAE中,tan∠PEA=PA/AE=√5/3
所以∠PEA=arctan√5/3
所以二面角P-CD-A的正切值大小为arctan√5/3
（2）在平面PAB中,过A作AH⊥PB于H,
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC
又AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,
AH属于面PAB,
所以BC⊥AH
又AH⊥PB,所以AH⊥平面PBC
所以AH即为点A到平面PBC的距离
在等腰Rt△PAB中,AH=AP*AB/PB=a√2/2
所以点A到平面PBC的距离为√2/2 *a