题目

已知函数f（x）=3

4−x

+4

x−3

，则函数f（x）的最大值为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 不存在

提问时间：2021-03-11

答案

要使函数有意义，则

4−x≥0 x−3≥0

，即3≤x≤4，
则0≤x-3≤1，0≤4-x≤1，且4-x+x-3=1，
∴可设4-x=sin²θ，则cos²θ=x-3，0≤θ≤90°
则F（x）=3sina+4cosa=5sin（a+b）
则函数f（x）等价为y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ），
令cosα＝

3

5

，sinα＝

4

5

，
则y=3sinθ+4cosθ=5（

3

5

sinθ+

4

5

cosθ）=5（sinθcosα+cosθsinα）=5sin（θ+α），
∴当θ+α=90°时，函数取的最大值5，
故选：C．

先求函数的定义域，然后利用三角还原法转化为三角函数，利用三角函数的性质即可求函数的最大值．

本题考点：在实际问题中建立三角函数模型；函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题主要考查函数最值的求法，根据函数式子的特点，利用三角换元法是解决本题的关键，要求熟练掌握辅助角公式的应用，综合性较强，难度较大．