题目

一道高中的二项式题
证明：51^51-1能被7整除.（证明51的51次方能被7整除）

提问时间：2021-03-11

答案

51^51-1能被7整除
51^51-1
=(49+2)^51-1
=C51 0 (前数字在下,后数字在上) 49^51*2^0+ C51 1 49^50*2^1+……+
C51 51 49^0*2^51-1
因为除最后一项外,均含有49,所以均能被7整除
此时只须证C51 51 49^0*2^51-1能被7整除
即证
C51 51 49^0*2^51-1
=2^51-1
=2^(3*17)-1
=8^17-1
=（7+1）^17-1
=C17 0 7^17*1^0+……+C17 17 7^0*1^17-1
同理,除最后一项外,因为均含7,均能被7整除
所以变为证 C17 17 7^0*1^17-1能被7整除
C17 17 7^0*1^17-1=0
所以原命题得证