题目

如图P是等边△ABC的边BC上的一点,∠APQ=60°,PQ交∠ACB的外角平分线于O,（1）求证AP=PQ
第二小问：若P在BC的延长线上,（!）中的结论是否仍然成立
第三小问：若P在BC的反向延长线上,（!）中的结论是否仍然成立!

提问时间：2021-03-11

答案

PQ交∠ACB的外角平分线于Q
1.证明：
设AC和PQ的交点为O
∵CQ是∠C的外角平分线
∴∠ACQ=∠ACP=60°
在△CQO和△AOP中
∵∠APO=60°=∠ACQ
∠AOP=∠COQ(对顶角)
∴△CQO和△AOP相似
∴OQ：OA=OP：OC
在△AOQ和△POC
∵∠AOQ=∠POC(对顶角)
OQ：OA=OP：OC
∴△AOQ和△POC相似
∴∠AQO=∠CPO=60°
∴APQ是等边三角形
∴AP=PQ
2.设AP,CQ的交点为O
∵CQ是∠C的外角平分线
∴∠ACQ=∠APQ=60°
在△QPO和△AOC中
∵∠QPO=60°=∠ACO
∠AOC=POQ(对顶角)
∴△AOC和△QOP相似
∴OQ：OA=OP：OC
在△AOQ和△POC
∵∠AOQ=∠POC(对顶角)
OQ：OA=OP：OC
∴△AOQ和△POC相似
∴∠AQO=∠OCP=60°
∴APQ是等边三角形
∴AP=PQ
3.同理