题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2；数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=2^n-1．
（Ⅰ）求数列a_n和b_n的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

提问时间：2021-03-11

答案

（I）因为a_n+1-a_n=2，所以数列{a_n}是以2为公差的等差数列，
又a₁=1，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
因为b₁=1，b_n+1-b_n=2^n-1，
所以b2−b1＝20，b3−b2＝21，…，bn−bn−1＝2n−2，
以上（n-1）个式子相加得，
bn−b1＝20+21+…+2n−2=

1−2n−1

1−2

=2^n-1-1，
所以bn＝2n−1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，nb_n=n•2^n-1，
所以T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1−2n

1−2

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
所以T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

（Ⅰ）由a_n+1-a_n=2得数列{a_n}是以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求出a_n，根据题意和累加法求出b_n；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出nb_n，再利用错位相减法求出数列{nb_n}的前n项和T_n．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式，累加法求数列的通项公式，以及数列求和方法：错位相减法，属于中档题．