题目

反三角函数
反三角函数在高数里重不重要?我看见 arc 我就糊涂了,真心求教.百度百科说它不是三角函数的反函数,甚至实际上并不能叫做函数,那它是什么?
好像求 lim arc tan（x）的极限,这样的题目我还能看明白,
x→无穷
但是如果求 lim arc tan（1/x）的极限,我就不懂了
x→无穷
还有反三角函数 的求导我就更不会了,好像 (arctanx)' =1/(1+x^2) 是怎么得出来的?
虚心求教啊!真心希望把 arc 消灭掉.否则放不下心头大石.

提问时间：2021-03-10

答案

(arctanx)' =1/(1+x^2)是用导数的定义推出来的,为了方便解题作为公式定理要求记忆（推导过程不要求掌握,死记硬背的东西难么?）
你三角函数弄明白了,反三角也就知道了,例如sinπ/4=1/2所以arcsin1/2=π/4
lim arc tan（1/x）,x→无穷
x→无穷,1/x→0,根据反三角函数可知极限为0,告你一个解决反三角简单的方法——换元法.就是说令arctan1/x=t,则可写出tan(t)=1/x,所以x→无穷,1/x→0,由你熟悉tan图像可知,tan趋近于0时等于0,所以这里t趋近于0,而设的t就是所求
所以原极限为0
按同样的方法你第一个极限也可以如是求,以下是第一个的换元法来
lim arc tan（x）,x→无穷
x趋近0,则1/x 趋于无穷,设 t=arctan(1/x)
在tan(t)的图上我们可以看到 t 趋于 -π/2 或者 π/2 时候,tan(t) 才会趋于负无穷或者正无穷
所以
左极限是-π/2
右极限是π/2
换元法能把反三角还原成你熟悉的三角函数,这样该会了吧,打字累啊,分给我吧