题目

(1-v)/(v^2-v+1)dv怎么求积分

提问时间：2021-03-06

答案

使用换元法和凑微分法解答如下：
v²-v+1=(v²-v+1/4)+3/4=(v-1/2)²+3/4
令t=v-1/2,则1-v=1/2-t,v²-v+1=t²+3/4,dt=d(v-1/2)=dv.
则∫(1-v)/(v²-v+1)dv=∫(1/2-t)/(t²+3/4)dt=∫1/2/(t²+3/4)dt-∫t/(t²+3/4)dt
又因为
∫1/2/(t²+3/4)dt ∫t/(t²+3/4)dt
=1/2∫dt/(t²+3/4) =1/2∫dt²/(t²+3/4)dt
=(1/2) × (3/4)∫1dt/[(2t/√3)²+1)] =1/2∫d(t²+3/4)/(t²+3/4)dt
=(2/3)∫1dt/[(2t/√3)²+1)] =1/2ln(t²+3/4)+C2
=(2/3)×(√3/2) ∫d(2t/√3)/[(2t/√3)²+1)] =1/2ln(v²-v+1)+C2.
=√3/3∫d(2t/√3)/[(2t/√3)²+1)]
=√3/3arctan(2t/√3)+C1
=√3/3arctan(2v-1)/√3+C1.
所以
∫(1-v)/(v²-v+1)dv=√3/3arctan(2v-1)/√3-1/2ln(v²-v+1)+C.