题目

有十二只乒乓球,其中有一只不合格,不知是轻是重,试制订一套方案,用一架天平最多测3次,找出这只球.

提问时间：2021-03-04

答案

　　我们假设： A组（有 A1A2A3A4四球）重,B组（有B1B2B3B4四球）轻.这时候,需要将重盘中的A1取出放在一旁,将A2A3取出放在轻盘中,A4仍留在重盘中.同时,再将轻盘中的B1 B4取出放在一旁,将B2取出放在重盘中,B3仍留在轻盘中,另取一个标准球C1也放在重盘中.经过这样的交换之后,每盘中各有三个球：原来的重盘中,现在放的是A4 B2C1,原来的轻盘中,现在放的是A2A3 B3. 这时,可以称第二次了.这次称后可能出现的是三种情况：
　　1．天平两边平衡.这说明A4 B2C1= A2A3 B3亦即说明,这六只是好球,这样,坏球必在盘外的A1或B1或B4之中.已知A盘重于B盘.所以,A1或是好球,或是重于好球；而B1 B4或是好球,或是轻于好球.
　　这时候,可以把B1和B4各放在天平的一端,称第三次.这时也可能出现三种情况：（一）如果天平两边平衡,可谁知A1是不合格的坏球,这是因为十二只球只有一只坏球,既然B1与B4重量相同,可见这两只球是好球,而A1为坏球；（二）B1比B4轻,则B1是坏球；（三）B4比B1轻,则B4是坏球.这是因为B1和B4或是好球,或是轻于好球,所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻,更轻的必是坏球.
　　2．放A4 B2C1的盘子（原来放A组）比放A2A3 B3的盘子（原来放B组）重.在这种情况下,则坏球必在未经交换的A4或B3之中.这是因为已交换的B2 A2A3等三球并未影响轻重,可见这三只球都是好球.
　　以上说明A4或B3这其中有一个是坏球.这时候,只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了.例如,取A4放在天乎的一端,取C1放在天平的另一端.这时称第三次.如果夭平两边平衡,那末B3是坏球,如果天平不平,那末A4就是坏球（这时A4重于C1）.
　　3．放A4 B2C1的盘子（原来放A组）比放A2A3 B3的盘子（原来放B组）轻.在这种情况下,坏球必在刚才交换过的A2A3 B2三球之中.这是因为,如果A2A3 B2都是好球,那末坏球必在A4或B3之中,如果A4或B3是坏球,那末放A4 B2C1的盘子一定重于放A2A3 B3的盘子,现在的情况恰好相反,所以,并不是A2A3 B2都是好球.
　　以上说明A2A3 B2中有一个是坏球.这时候,只需将A2同A3相比,称第三次,即推出哪一个是坏球.把A2和A3各放在天平的一端称第三次,可能出现三种情况：（一）天平两边平衡,这可推知B2是坏球；（二）A2重于A3,可推知A2是坏球；（三）A3重于A2,可推知A3是坏球.