题目

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（β＞α＞0 ），求不等式cx²+bx+a＜0的解集．

提问时间：2021-03-04

答案

由已知不等式可得a＜0，因为α、β为方程ax²+bx+c=0的两根，所以

α+β＝− b a    ① α•β＝ c a        ②

因为a＜0，由cx²+bx+a＜0得

c

a

x2+

b

a

x+1＞0，
将①②代入得αβx²-（α+β）x+1＞0即（αx-1）（βx-1）＞0．因为0＜α＜β，所以0＜

1

β

＜

1

α

．
所以所求不等式的解集为{x|x＜

1

β

或x＞

1

α

}．

根据题意可分析得到a＜0，利用根与系数的关系可得

α+β＝− b a    ① α•β＝ c a        ②

，代入

c

a

x2+

b

a

x+1＞0可求出不等式cx²+bx+a＜0的解集．

本题考点：一元二次不等式的解法．

考点点评：本题考查一元二次不等式的解法，利用根与系数的关键是解题的关键，考查转化与运算能力，属于中档题．