题目

求一个勾股数组
哪两个数的平方和为1/3
要 分数

提问时间：2020-12-11

答案

如果可以是无理数的话,则随便找几组都是可以的,如
1/3=(1/3)^2+((根号2)/3)^2
如果要是有理分数的话,是不可能找到两个分数平方和为1/3的.
理由如下：
设若1/3=(a/b)^2+(c/d)^2
则1/3=((ad)^2+(bc)^2)/(bd)^2
因此(bd)^2这个平方数中包含3这个因子,从而可以设之为3*3*n*n,n为正整数.
那么也就有(ad)^2+(bc)^2=3n^2
这个式子可以写为3n^2=p^2+q^2,记为（1）式,其中p、q都是正整数,可以说明不可能存在一组正整数n,p,q使得该式子成立.
我们设p除3的余数为k1,q除3的余数是k2,则q^2+p^2除3的余数等于k1^2+k2^2除3的余数.由于(1)式左边是3n^2可以被三整除,所以k1^2+k2^2也应该能被3整除,又因为除3的余数只有0,1,2三种可能,穷举可知只可能k1、k2都等于0.
从而p、q都是3的倍数,可设p=3p',q=3q',其中p'和q'都是正整数.
这样就有3n^2=(3p')^2+(3q')^2,即n^2=3*(p'^2+q'^2)可见n也必须包含3这个因子,从而可设n=3n',n'为正整数.故3n'^2=p'^2+q'^2.
这也就是说,对于任意一组满足（1）式的n,p,q而言,n、p、q都必须为3的倍数,且n/3,p/3,q/3也都是满足（1）式的一组正整数.那我们取满足（1）的n,p,q中最小的一组,则由上面的推证可知n/3,p/3,q/3是满足（1）的更小的一组正整数,这显然是前后矛盾的.
从而说明不存在使得（1）成立的一组正整数n,p,q,那么也就不会存在有理分数a/b和c/d使得1/3=(a/b)^2+(c/d)^2成立.