题目

设f(x)为四次函数,当x=±1时,取得极值0,且2为极大值,求f(x)的解析式,并求f(x)的最小值,画出函数的大致图象.

提问时间：2021-03-04

答案

能取得极值,就是说在x=±1时,f(x)的导数为0
设f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
其导数为 f'(x)= 4ax^3+3bx^2+2cx+d
f'(1)=0就是4a+3b+2c+d=0 (1)
f'(-1)=0 即-4a+3b-2c+d=o (2)
由（1）和（2）可以得出 c=-2a(5)
d=-3b(6) (由两式相加和加减得出)
然后说极值为0 就是f(1)=f(-1)=0
f(1)=a+b+c+d+e=0 (3)
f(-1)=a-b+c-d+e=0 (4)
由（3）(4)可以得出 2a+2c+2e=0(7)
2b+2d=0 (8)
由（6）（8）可得 b=d=0 a=e
所以 f(x)=ax^4-2ax^2+a
f'(x)=4ax^3-4ax(9)
能取极值 即是说f'(x)=o
如果（9）式为0 可以得出 x=1或x=-1或x=o
从题目里可直接知道 当x=±1 极值为0
也既是 若有极值为2,则只能是在x=0处,所有将x=0带入f(x)=ax^4-2ax^2+a=2
得出a=2
c=-2a=-4
e=a=2
d=b=0
所以函数为f(x)=2x^4-4x^2+2
画图
因为在x=0的地方是极大值 所以在x0是减函数 （通过图像可以看出这个）
而且在x=±1时,取得的是极值0
所以在【-无穷,-1】是减函数 在【-1,0】是增函数 在【0,1】是减函数 在【1,+无穷】是增函数.
其实也不一定是无穷,只要-无穷1就可以.这些都可以根据图像来得出
注意的是 极值不是最值 极值只要在某范围内就好 但是最值在整个图像内才能确定.
根据这几点就可以基本画出图像来.
我只能用最笨的办法.楼主别介意