题目

已知f(x)＝

a

•

b

−1，其中向量

a

＝(sin2x，2cosx)，

b

＝(

3

，cosx)，（x∈R）．
（1） 求f（x）的最小正周期和最小值；
（2） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(

A

4

)＝

3

，a=2

13

，b=8，求边长c的值．

提问时间：2021-03-04

答案

∵（1）f（x）=

a

•

b

-1=（sin2x，2cosx）•（

3

，cosx）-1
=

3

sin2x+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期为π，最小值为-2
（2）f（

A

4

）=2sin（

A

2

+

π

6

）=

3

∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
52=64+c²-8c即c²-8c+12=0
从而c=2或c=6

先利用向量的数量积的坐标表示及辅助角公式对函数整理可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（1）利用周期公式T=

2π

ω

 可求ω，观察函数可知最小值-2
（2）由f(

A

4

)＝

3

代入整理可得，sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

，从而可求A，然后利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可求c的值．

本题考点：余弦定理；数量积的坐标表达式；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题以向量的数量积的坐标表示为切入点，考查了辅助角 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)把函数化为一个角的三角函数，进而可以借助于该函数研究函数的相关性质，还考查了由三角函数值求角及由余弦定理求解三角形等知识的综合运用．