题目

当x＞0时,证明ln(x＋1)＞x╱x＋1

提问时间：2021-03-04

答案

设f(x)=ln(x+1)-(arctanx)÷(1+x)原题就是求证x>0,f(x）>0;左右同乘1+x变形得g(x)=f(x)*(1+x)=ln(x+1)*（1+x）-(arctanx)因为x+1大于0,所以原题就是求证g(x)>0.求导得一阶导数g'(x)=ln(x+1)+1-1/(1+x²)再次求导得二阶导数g''(x)=1/(x+1)+2x/(1+x²)²因为x>0,所以二阶导数g''(x)>0,所以一阶导数为增函数,最小值为当x=0时取得的,即g'(0)=0因为x>0,所以一阶导数g(x)>0.所以原函数g(x)为增函数,当x=0时取最小值g(0)=0因为x>0,所以g(x)>0成立即ln(x+1)*（1+x）-(arctanx)>0所以当x大于0时,ln(x+1)大于(arctanx)÷(1+x)