题目

已知关于x的方程x²+（n+1）x+2n-1=0的两根为整数，则整数n是______

提问时间：2021-03-04

答案

∵x²+（n+1）x+2n-1=0的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设
△=（n+1）²-4（2n-1）=k²（k为非负整数），即（n-3）²-k²=4，
∴满足上式的n、k只能是下列情况之一：

n−3+k＝4 n−3−k＝1

或

n−3+k＝−1 n−3−k＝−4

或

n−3+k＝2 n−3−k＝2

或

n−3+k＝−2 n−3−k＝−2

解得n=1、或n=5．故答案为1或5

要求n，由题意中方程x²+（n+1）x+2n-1=0的两根为整数，所以它的判别式△=（n+1）²-4（2n-1）为完全平方式，对其进行化简，得（n-3）²-k²=4，则n与k的关系进行讨论后可得答案．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评：这道题考查了一元二次方程的整数根与有理根，以及其判别式的灵活应用，同学们应熟练掌握．