题目
已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)求证:AM平分∠BAD;
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果.
(1)求证:AM平分∠BAD;
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果.
提问时间:2021-03-04
答案
(1)证明:作ME⊥AD于E,
∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,
∴ME=MC,
∵M为BC中点,
∴MB=MC,
又∵ME=MC,
∴ME=MB,
又∵ME⊥AD,MB⊥AB,
∴AM平分∠DAB.
(2)DM⊥AM,
理由是:∵DM平分∠CDA,AM平分∠DAB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵DC∥AB,
∴∠CDA+∠BAD=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠DMA=180°-(∠1+∠3)=90°,
即DM⊥AM.
(3)CD+AB=AD,
理由是:∵ME⊥AD,MC⊥CD,
∴∠C=∠DEM=90°,
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL),
∴CD=DE,
同理AE=AB,
∵AE+DE=AD,
∴CD+AB=AD.
∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,
∴ME=MC,
∵M为BC中点,
∴MB=MC,
又∵ME=MC,
∴ME=MB,
又∵ME⊥AD,MB⊥AB,
∴AM平分∠DAB.
(2)DM⊥AM,
理由是:∵DM平分∠CDA,AM平分∠DAB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵DC∥AB,
∴∠CDA+∠BAD=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠DMA=180°-(∠1+∠3)=90°,
即DM⊥AM.
(3)CD+AB=AD,
理由是:∵ME⊥AD,MC⊥CD,
∴∠C=∠DEM=90°,
在Rt△DCM和Rt△DEM中
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∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL),
∴CD=DE,
同理AE=AB,
∵AE+DE=AD,
∴CD+AB=AD.
(1)首先要作辅助线,ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC,再利用中点的条件可知ME=MB,再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB.
(2)根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°,求出∠1+∠3=90°,根据三角形内角和定理求出即可.
(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM,推出CD=DE,同理得出AE=AB,即可得出答案.
(2)根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°,求出∠1+∠3=90°,根据三角形内角和定理求出即可.
(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM,推出CD=DE,同理得出AE=AB,即可得出答案.
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