题目

求4x²-2xy+5y=7的正整数解

提问时间：2021-03-04

答案

∵4x^2－2xy＋5y＝7,∴2xy－5y＝4x^2－7,
∴（2x－5）y＝4x^2－7＝4x^2－10x＋10x－25＋18,∴y＝2x＋5＋18/（2x－5）.
∵x、y都是正整数,∴18/（2x－5）为整数.
令18/（2x－5）＝k,其中k是整数,则：（2x－5）k＝18＝2×3×3.
显然,（2x－5）是奇数,∴（2x－5）只能在下列的数中选取：1、－1、3、－3、9、－9.
一、当2x－5＝1时,得：2x＝6,∴x＝3,∴4×9－2×3y＋5y＝7,∴y＝29.
二、当2x－5＝－1时,得：2x＝4,∴x＝2,∴4×4－2×2y＋5y＝7,∴y＝－9.
　　此时不能满足x、y都是正整数,∴应舍去.
三、当2x－5＝3时,得：2x＝8,∴x＝4,∴4×16－2×4y＋5y＝7,∴3y＝57,∴y＝19.
四、当2x－5＝－3时,得：2x＝2,∴x＝1,∴4×1－2y＋5y＝7,∴3y＝3,∴y＝1.
五、当2x－5＝9时,得：2x＝14,∴x＝7,∴4×49－2×7y＋5y＝7,∴9y＝7×（28－1）,
　　∴y＝21.
六、当2x－5＝－9时,得：2x＝－4,∴x＝－2.
　　此时不能满足x、y都是正整数,∴应舍去.
综上所述,得原方程的正整数解有4组,分别是：
①x＝3、y＝29；　②x＝4、y＝19；　③x＝1、y＝1；　④x＝7、y＝21.