题目

证明：1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+.+1/n²=π²/6

提问时间：2021-03-04

答案

这个东西证明不大容易,简单说说吧：
有一种求圆周率的一种逼近方法,利用到欧拉级数,相关知识自己查一下.
证法一：欧拉本人给出的
首先根据黎曼函数展开sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+.
然后利用sinx/x的零点,容易知零点为nπ
所以sinx/x=(1-x/π)(1+x/π)(1-x/2π)(1+x/2π)+.
=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2).(1-x^2/n^2π^2)
比较展开式和上式中x^2的系数得
-x^2(1+1/4+1/9+.1/n^2)/π^2=-x^2/3!
所以1+1/4+1/9+.1/n^2=π^2/6
证法二：高数课本上查一下
利用傅立叶级数做,展开f(x)=|x|,x属于(-π,π)
证法三：利用黎曼zeta函数和伯努利数的关系
Zeta(k)=2^(2k-1)*B(k)*π^(2k)/(2k)!,其中B(1)=1/3
令k=1,得Zeta(2)=π^2/6