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题目
如图,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AB=12m,AC=4m.一只蚂蚁由点B向点A爬行,每分钟爬行1m,另一只蚂蚁由点B向点D爬行,每分钟爬行2m.它们同时出发,点P,Q为它们在某一时刻的位置,爬行几分钟后,以A,C,P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形相似?并说明理由.

提问时间:2021-03-03

答案
设爬行t分钟后,以A,C,P为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形相似.
①当△ACP∽△BPQ时,
AC
AP
=
BP
BQ
,即
4
12−t
=
t
2t

解得t=4(不合题意,舍去);
②当△ACP∽△BQP时,
AC
AP
=
BQ
BP
,即
4
12−t
=
2t
t

解得t=10.
综上所述,当t=10时,以A、P、M为顶点的三角形与以B,P,Q为顶点的三角形相似.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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