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题目
已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.

(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC=______;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H.当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论.

提问时间:2021-03-03

答案
(1)45;
(2)如图2,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,并在AE上取AE=AB,连接BE和CE.
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.
即∠EAC=∠BAD.
∴△EAC≌△BAD.
∴EC=BD.
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,
以下证明:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.
∵AH⊥BC于H,
∴∠AHC=90°.
∵BE∥AH,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2
∵BD2=4AH2+BC2
∴EC=BD.
∵K为BE的中点,BE=2AH,
∴BK=AH.
∵BK∥AH,
∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵∠EBC=90°,
∴四边形AKBH为矩形.
∴∠AKB=90°.
∴AK是BE的垂直平分线.
∴AB=AE.
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.
∴∠EAC=∠BAD.
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD.
即∠EAB=∠DAC.
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,
∴∠ABC=90°-∠EBA.
∵AB=AE,
∴∠EBA=∠BEA.
∴∠EAB=180°-2∠EBA.
∴∠EAB=2∠ABC.
∴∠DAC=2∠ABC.
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