题目

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）过点（1,3/2）,且离心率e=1/2 （1）椭圆c的标准方程是x^2/4+y^2/3=1（2）若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆交与不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点G（1/8,0）,求k的取值范围

提问时间：2021-03-03

答案

将点（1,3/2）代入椭圆得：1/a^2+9/4b^2=1
e=c/a=1/2,则a=2c,又a^2=b^2+c^2,解得：a^2=4,b^2=3
所以椭圆C方程为：x^2/4+y^2/3=1
设点M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为P,则P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
将直线l：y=kx+m代入椭圆方程,得：（4k^2+3)x^2+8kmx+4m^2-12=0
x1+x2=-8km/（4k^2+3),y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m/（4k^2+3)
Δ>0得：4k^2-m^2+3>0 即m^2<4k^2+3
直线PG斜率为：（y1+y2)/(x1+x2-1/4)=-1/k
解得：4k^2+8km+3=0,则m=(4k^2+3)/-8k,则m^2=(4k^2+3)^2/64k^2<4k^2+3
解得：k>√5/10或k<-√5/10