题目

求曲面az=a^2-x^2-y^2 与平面 x+y+z=a（a>0）以及三个坐标面所围成立体的体积
如题,思考了好久实在是想不出来围成的立体是怎样的,Matlab也不是很精通,求朋友们帮助,这道题该如何解,围成的立体又是怎样的呢?

提问时间：2021-03-02

答案

这题是可以通过分析想象出图形的,平面x+y+z=a很好想象,关键是曲面az=a^2-x^2-y^2,首先考虑用平行于xoy的平面截曲面所得的图形,这时z是常数,因此截面x^2+y^2=a^2-az是圆,再考虑曲面在yoz平面上的投影,这时x=0,因此投影为y^2=a^2-az为开口向下的抛物线,综合两点就可以想象出这个曲面是一个倒立的抛物面（注意虽然这曲面和x,y,z轴的交点都是a,但这不是球面!考察在交点处的曲率就会发现它们是不同的）.现在所求体积就等于抛物面在第一卦限的体积减去锥体的体积,锥体体积=a^3/6,现在用三重积分求抛物面所围体积,用“先二后一”的方法,该体积=(1/4)∫dz∫∫dxdy,z积分限为0到a,而∫∫dxdy就等于抛物面被平行于xoy的平面截得的面积（注意所得结果是含有z的）.由x^2+y^2=a^2-az知∫∫dxdy=π(a^2-az),积分得这部分体积=πa^3/8,因此所求体积=(π/8-1/6)a^3