题目

三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90,BB1垂直底面ABC,D为棱AC中点,E为棱A1C1中点,且AB=BC=BB1=1
三棱柱ABC-A1B1C1中,角ABC=90,BB1垂直底面ABC,D为棱AC中点,E为棱A1C1中点,且AB=BC=BB1=1
（一）求证CE平行平面BA1D（二）求二面角A1-BD-C的余玄值（三）棱CC1上是否存在一点P,使PD垂直平面A1BD,若存在确定其位置,不存在说明理由

提问时间：2021-03-02

答案

证明：（1）因为E、D分别是A1C1和AC的中点,则A1E∥CD且A1E=CD,
则CE∥A1D,而CE属于平面BA1D,A1D属于平面BA1D,则CE∥平面BA1D
（2）因为B1B⊥平面ABC,故A1A⊥平面ABC,所以AA1⊥BD
又AB=BC=1且D为AC的中点,故BD⊥AC,
而AA1∩AC=A,BD⊥平面A1ACC1
所以A1D⊥BD,AD⊥BD
故∠A1DA为所求二面角A1-BD-C的平面角的补角
在Rt△A1AD中,A1D= 根号6/2.所以cos∠A1DA=AD/A1D =根号3/3
故所求二面角的余弦值为cos(π-∠A1DA)=-根号3/3
（3）设P（1,0,z）则 向量DP =(1 2 ,-1 2 ,z)…（9分）
要使PD⊥平面A1BD,则需 向量DP • 向量BD =0 向量DP • 向量BA1 =0 …（10分）
可得z=1/2 ,故P(1,0,1/2 )
即当P是C1C的中点时,
所以PD⊥平面A1BD
谢谢,累死我了,好好努力啊!