题目

已知椭圆x平方+y平方/2=1与直线y=1/2 x+m相交于AB两点.求弦AB中点M的轨迹方程.

提问时间：2021-03-02

答案

设A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0) ,则依题意有 A、 B两点既在椭圆上,又在直线上;
在椭圆上 ：x1^2 + y1^2/2 = 1 (1)
x2^2 + y2^2/2 = 1 (2)
由（1）-（2） 得 :-2(x1+ x2）(x1 - x2）=(y1 + y2）(y1 - y2）
因为 M 为 弦A B 的中点,所以：x0 =( x1 + x2)/2 ,y0 = (y1 + y2)/2
y1 - y2 = 1/2(x1 - x2)
所以 -2 x0 (x1 - x2) = 1/2 y0(x1 - x2)
又 x1不等于 x2 所以 有：y0 = - 4x0
即 M 的轨迹方程为：4x + y = 0 .