题目

从n个数中选m个元素的组合数就用Cm/n表示吧
求值：C0/n-2C1/n+3C2/n-4C3/n+……+(-1)^n(n+1)Cn/n

提问时间：2021-03-02

答案

我用 C(n,k) 表示n个中选k个的组合数了,看着方便一点.
当 n=1 时,原式 = C(1,0)-2C(1,1)= -1.
当 n>=2 时,原式 = 0.
证明中要用到这样的组合恒等式：
C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-C(n,3)+...+(-1)^n*C(n,n)=0 (1)
kC(n,k)=nC(n-1,k-1) (2)
这两个应该比较容易,第一个只要将 0=(1-1)^n 展开即可；第二个则按照组合数的定义直接计算即可.
回到原题,当 n>=2 时：
C(n,0)-2C(n,1)+3C(n,2)-4C(n,3)+...+(-1)^n(n+1)C(n,n)
=[C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-C(n,3)+...+(-1)^n*C(n,n)] +
[-C(n,1)+2C(n,2)-3C(n,3)+...+(-1)^n*C(n,n)] (由恒等式(1),第一个中括号内为0)
= -C(n,1)+2C(n,2)-3C(n,3)+...+(-1)^nC(n,n) (由恒等式(2))
= -nC(n-1,0)+nC(n-1,1)-nC(n-1,2)+...+(-1^n)*n*C(n-1,n-1) (再由(1))
= 0
即 n>=2 时原式=0.n=1 时另行计算即可.
如果楼主在学习组合恒等式或者有所研究的话,可以在baidu中搜索“组合恒等式”,文库里也有一些资料,可以看一下.