题目

如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，DE⊥AB于E，连接AD、CE相交于点P．若∠APE=60°，CD=1，求△ABC的边长．

提问时间：2021-03-01

答案

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC；
∵∠APE=∠DAC+∠ACE=60°，∠BAC=∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠ACE=∠BAD；
在△ACE和△BAD中，

∠BAC=∠ABC AB=AC ∠ACE=∠BAD

，
∴△ACE≌△BAD（ASA）；
∴AE=BD；
∴BE=CD=1；
又∵DE⊥AB，
∴BD=2；
∴BC=BD+CD=2+1=3，
即△ABC的边长为3．

根据已知及等边三角形的性质利用ASA判定△ACE≌△BAD，得到AE=BD，所以BE=CD=1，利用三角函数求得BD=2，从而可求得边长为3．

本题考点：["等边三角形的性质","全等三角形的判定与性质"]

考点点评：此题主要考查学生对等边三角形性质的理解和运用，以及全等三角形的判定及应用；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．