题目

高中数学均值定理【急】
三角形ABC 角C=90度 AC=3 BC=4 一直线分三角形的面积为相等的两个部分,且夹在AB与BC间的线段最短 求此线段长?【均值定理解题】

提问时间：2021-03-01

答案

可设直线与BC,AB分别交于点M,N.且|BM|=m,|BN|=n.由题设知,⊿BMN的面积=3.由⊿的面积公式知,3=(1/2)*mn*sin∠B=(1/2)*mn*(3/5).===>mn=10.在⊿BMN中,由余弦定理可知,|MN|²=|BM|²+|BN|²-2|BM|*|BN|cos∠B=m²+n²-2mn*(4/5)=m²+n²-16.===>|MN|²+16=m²+n²≥2mn=20.===>|MN|²≥4.===>|MN|≥2.等号仅当m=n=√10时取得,故|MN|min=2.