题目

已知点P(6,4)和直线L:y=4x,过点P的直线与X轴相交于点M,且与l在第一象限交于点Q.当△OQM的面积最小时
当△OQM的面积最小时,求直线PQ的方程.
个人认为△OQM的面积最小就为0了,根本就是无限接近,找不到最小肿么办!而且我找过度娘了!

提问时间：2021-03-01

答案

你的想法是对的.如果 M 在 x 轴负半轴,则三角形 OQM 的面积可以无限接近于 0 .
题目应该是缺少条件：M 在 x 轴正半轴 .
设 M（m,0）,Q（a,4a）,(m>0,a>0)
由于 M、P、Q 三点共线,因此 (4a-4)/(a-6)=(0-4)/(m-6) ,
化简得 am=m+5a ,
由均值不等式得 am=m+5a≥2√(5ma) ,因此两边平方后化简得 am≥20 ,
所以三角形 OQM 的面积 S=1/2*m*4a=2ma≥40,
当 a=2,m=10 时 S 取最小值,
此时 M（10,0）,Q（2,8）,
由两点式得直线 L 方程为 (y-8)/(0-8)=(x-2)/(10-2) ,即 x+y-10=0 .