题目

12．已知|x+2|+|1-x|＝9-|y-5|-|1+y|,则x+y的最小值为 ,最大值为 ．

提问时间：2021-02-28

答案

由“三角不等式”可知,对任意实数x,恒有3=|(x+2)+(1-x)|≤|x+2|+|1-x|.等号仅当x+2,1-x同号时取得,即当(x+2)(x-1)≤0时取得.∴3≤|x+2|+|1-x|.等号仅当-2≤x≤1时取得.同理,6≤|5-y|+|y+1|.等号仅当-1≤y≤5时取得.两式相加,再结合题设可得：9≤|x+2|+|1-x|+|5-y|+|1+y|=9.∴应有|x+2|+|1-x|=3,且|5-y|+|y+1|=6.∴由前面的讨论可知,-2≤x≤1,且-1≤y≤5,∴-3≤x+y≤6.∴(x+y)min=-3,(x+y)max=6.