题目

设M为部分正整数组成的集合数列an的首项a1=1,前n想的和为SN,已知对任意整数k∈M
设M为部分正整数集合,数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,已知对任意的整数k∈M,当整数n>k,Sn+k +Sn-k=2（Sn+Sk）都成立,设M={3,4},求数列{an}的通项公
求到an+1+k-an+1=an+1-an+1-k 我会
为什么有
所以n≥8时,an-6,an-3,an,an+3,an+6成等差数列,且an-6,an-2,an+2,an+6也成等差数列

提问时间：2021-02-28

答案

当k=3时
an+1+k-an+1=an+1-an+1-k可化为
a(n+4)-a(n+1)=a(n+1)-a(n-2)
令n=n-1 ∵n≥8 ∴n-1＞3
∴a(n-3),an,a(n+3)为等差数列
令n=n-4 n-4>3
∴a(n-3) an a(n-6) 为等差数列
可以把a(n-6)加到a(n-3),an,a(n+3)中
再另n=n+2
∴a(n+3) an a(n+6) 为等差数列
把a(n+6)加到a(n-3),an,a(n+3)中
∴n≥8时,an-6,an-3,an,an+3,an+6成等差数列
同理k=4时
an+1+k-an+1=an+1-an+1-k可化为
a(n+5)-a(n+1)=a(n+1)-a(n-3)
令n=n+1
∴a(n-2) a(n+2) a(n+6)成等差数列
令n=n-3>4
a(n-6) a(n-2) a(n+2)成等差数列
故a(n-6) a(n-2) a(n+2) a(n+6)成等差数列.