题目

已知sinx+siny=1, 则(cosx)^2+(cosy)^2 A.有最小值1 B.有最小值0 C.无最小值 D.无最大值
求把过程也写出来.谢谢

提问时间：2021-02-27

答案

sinx+siny=1,因为sinx≤1、siny≤1恒成立,所以0≤sinx≤1,0≤siny≤1
(sinx+siny)^2=1
(sinx)^2+(siny)^2+2sinx*siny=1
1-(cosx)^2+1-(cosy)^2 +2sinx*siny=1
(cosx)^2+(cosy)^2=1+2sinx*siny
因为0≤sinx≤1,0≤siny≤1,所以sinx+siny≥2√(sinx*siny),即sinx*siny≤(sinx+siny)^2/4=1/4
所以(cosx)^2+(cosy)^2=1+2sinx*siny≤1+2*1/4=3/2,有最大值3/2.
又,因为0≤sinx≤1,0≤siny≤1,
所以当sinx=0或siny=0时,(cosx)^2+(cosy)^2=1+2sinx*siny=1,为最小值.
所以结论A正确.