题目

D(X-Y)+[E(X-Y)]^2=DX+DY-2(EXY-EXEY)+(EX-EY)^2怎么推导出来的?

提问时间：2021-02-27

答案

对于D的定义
D（X）=E（X²）-【E（X）】²
于是就有
D(X-Y)=E（（X-Y）²）-【E（X-Y）】²
D（Y）=E（Y²）-【E（Y）】²
从而消去
D(X-Y)+[E(X-Y)]^2=DX+DY-2(EXY-EXEY)+(EX-EY)^2所有的D,就得
E（（X-Y）²）-【E（X-Y）】²+[E(X-Y)]^2=E（X²）-【E（X）】²+E（Y²）-【E（Y）】²-2(EXY-EXEY)+(EX-EY)^2
整理为E（（X-Y）²）=E（X²）-【E（X）】²+E（Y²）-【E（Y）】²-2(EXY-EXEY)+【E（X）】²+【E（Y）】²-2EXEY
再整理E（（X-Y）²）=E（X²）+E（Y²）-2E（XY）
分明有E（（X-Y）²）=E（X²-2XY+Y²）=E（X²）+E（Y²）-2E（XY）
从而
D(X-Y)+[E(X-Y)]^2=DX+DY-2(EXY-EXEY)+(EX-EY)^2
得证