题目

高数,数列求极限问题求快速解答
求当n趋向于正无穷大时,(4n^2-1^2)^(-0.5)+(4n^2-2^2)^(-0.5)+……+(4n^2-n^2)^(-0.5)的极限……
最好先证明该数列有极限……

提问时间：2021-02-27

答案

不要用数列证,否则你就掉陷阱了.明显是转化成积分做,就看你Riemann积分本质搞懂没有.硬要用数列极限做你可能永远做不出来.
原式=(1/n)*{1/√[4-(1/n)^2]+1/√[4-(2/n)^2]+…+1/√[4-(n/n)^2]}
被积函数是f(x)=1/√(4-x^2),积分区间是0→1,分为n份,每份长度为1/n.
当n→+∞时,原式=∫[1/√(4-x^2)]dx,从0积到1.
显然此积分是存在的,原题极限的值就是此积分的值.
令x=2sinθ,积分区间对应的变为0→π/6
带入积分式中有∫[1/√(4-x^2)]dx=∫[1/√(4-4(sinθ)^2)]d(2sinθ)=∫dθ=π/6-0=π/6
所以,原数列的极限存在,为π/6.