题目
函数图形凹凸问题
利用函数凹凸性证明不等式：
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]
(x>0,y>0,x不等于y)
利用函数凹凸性证明不等式：
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]
(x>0,y>0,x不等于y)
提问时间：2021-02-27
答案
设f(t)=tlnt,则求导得f'(t)=1+lnt,f''(t)=1/t（t>0）
由f''(t)=1/t>0（t>0）知f(t)在t>0时为严格下凸函数,因此由Jensen（琴生）不等式可得
1/2[f(x)+f(y)]>=f((x+y)/2)
即xlnx+ylny>=（x+y）ln[（x+y）/2]
由x不等于y知等号不能成立,因此
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]
由f''(t)=1/t>0（t>0）知f(t)在t>0时为严格下凸函数,因此由Jensen（琴生）不等式可得
1/2[f(x)+f(y)]>=f((x+y)/2)
即xlnx+ylny>=（x+y）ln[（x+y）/2]
由x不等于y知等号不能成立,因此
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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