题目
已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
提问时间:2021-02-27
答案
(1)∵f(x+y)=f(x)•f(y)-f(x)-f(y)+2令x=y=0,
f(0)=f(0)•f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f2(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)•f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2 (1分)
设x<0,则-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)-f(x)-f(-x)+2
∴f(x)=
=1+
∵f(-x)>2
,∴0<
<1,从而1<f(x)<2(3分)
(2)函数f(x)在R上是增函数
设x1<x2则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>2
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2
=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)-1>0,又f(x2-x1)>2
∴f(x2-x1)•[f(x1)-1]>2f(x1)-2
f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2>f(x1)
即f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在R上是增函数 (3分)
(3)∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)-k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减
则x∈(-∞,0)时,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)时,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
f(0)=f(0)•f(0)-f(0)-f(0)+2
∴f2(0)-3f(0)+2=0,f(0)=2或 f(0)=1
若 f(0)=1
则 f(1)=f(1+0)=f(1)•f(0)-f(1)-f(0)+2=1,
与已知条件x>0时,f(x)>2相矛盾,∴f(0)=2 (1分)
设x<0,则-x>0,那么f(-x)>2
又2=f(0)=f(x-x)=f(x)•f(-x)-f(x)-f(-x)+2
∴f(x)=
f(−x) |
f(−x)−1 |
1 |
f(−x)−1 |
∵f(-x)>2
,∴0<
1 |
f(−x)−1 |
(2)函数f(x)在R上是增函数
设x1<x2则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>2
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2
=f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2
∵由(1)可知对x∈R,f(x)>1,∴f(x1)-1>0,又f(x2-x1)>2
∴f(x2-x1)•[f(x1)-1]>2f(x1)-2
f(x2-x1)[f(x1)-1]-f(x1)+2>f(x1)
即f(x2)>f(x1)
∴函数f(x)在R上是增函数 (3分)
(3)∵由(2)函数f(x)在R上是增函数
∴函数y=f(x)-k在R上也是增函数
若函数g(x)=|f(x)-k|在(-∞,0)上递减
则x∈(-∞,0)时,g(x)=|f(x)-k|=k-f(x)
即x∈(-∞,0)时,f(x)-k<0,
∵x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=2,∴k≥2(3分)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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