题目

判断涵数奇偶,Y=IN[X+（1+X^2）^1/2] 答案为奇涵数 怎么证明分析.
^号表示幂

提问时间：2021-02-27

答案

其实这道题有个简单的办法,只要解出f(x)+f(-x)=0就行了,
f(x)+f(-x)=ln[X+（1+X^2）^1/2]+ln[-X+（1+X^2）^1/2]=ln{[X+（1+X^2）^1/2][-X+（1+X^2）^1/2]}=ln1=0,推出
-f(x)=f(-x),得出结论
f(x)=lg[x+根号(x2+1)]
f(-x)=lg[-x+根号((-x)2+1)]=lg[-x+根号(x2+1)]=lg[1/[x+根号(x2+1)]]
所以f(x)+f(-x)=lg1=0
f(-x)=-f(x),且f(x)的定义域是R,所以f(x)是奇函数
f(x)=lg[x+根号(x2+1)]
令g(x)=x+根号(x2+1)
所以g'(x)=1+x/根号(x2+1)=[根号(x2+1)+x]/根号(x2+1)>=0
所以g(x)是增函数,所以f(x)=lgg(x)也是增函数
y=f(x)=lg[x+根号(x2+1)]
10^y=x+根号(x2+1)
1/10^y=1/[x+根号(x2+1)]=根号(x2+1)-x
两式相减得
10^y-1/10^y=2x
x=(1/2)(10^y-10^(-y))
互换x,y即得反函数为
y=(1/2)[10^x-10^(-x)]