题目

韦达定理.
1.若a,b是方程x²-3x-5=0的两个根,求a+2b²-3b的值
2.已知a,b是方程x²+x-7=0的两个实根,不解方程,求a的三次方-8b²=54的值

提问时间：2021-02-26

答案

1）
令y=0,a+b+c=0 b=-a-c
3a^2+2bx+c=0
△=4b^2-12ac=4(a+c)^2-12ac= 4a^2-4ac+4c^2=(2a-c)^2+3c^2
c>0
所以△=（2a-c)^2+3c^2>0
所以与x轴有两个不同的交点
2）
f(0)=c>0 f(1)=3a+2b+c>0
3a+2b+c-2(a+b+c)>0 a-c>0 a>c>0
3a+2b+c-(a+b+c)>0
2a+b>0 b>-2a b/a>-2
a+b+c=0 b=-a-c<-a b/a<-1
所以,:a>0且－2<b/a<－1
3）
第三问就是韦达定理的应用
3ax^2+2bx+c=0
根据韦达定理有
x1+x2=-2b/3a
x1x2=c/3a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(4b^2-3ac)/9a^2
c=-a-b
(4b^2-3ac)/9a^2=(4b^2+3a^2+3ab)/9a^2
然后引用第二问的结论－2<b/a<－1
即可证出结论
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关键是敢于写,真个题目其实条件很充裕,除了麻烦没什么
祝学业进步