题目

设函数f(x)=1/2a x^2-lnx(x>0,a≠0)
(2)求f(x)单调区间
a>0 不用写了
a

提问时间：2021-02-26

答案

(2)f'(x)=x/a-1/x=(x^2-1)/(ax)
因为a＜0,i)当0＜x≤1时,f'(x)≥0；ii)当x≥1时,f'(x)≤0.
故当a＜0时,f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
(3)当a＜0时f(x)在[1,+∞)上单调递减,因为在[1,2]上恒成立f(x)＞2,所以必有f(2)=2/a-ln2＞2,求得a＜2/(2+ln2).故此时a＜0.
当a＞0时f(x)在[1,+∞)上单调递增,因为在[1,2]上恒成立f(x)＞2,所以必有f(1)=1/(2a)＞2,求得a＜1/4.故此时0＜a＜1/4.
综合上述,a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1/4).