题目

已知函数f(x)=x+

1

x+1

，g(x)=ax+5-2a(a＞0)．
（Ⅰ）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅱ）若对任意m∈[0，1]，总存在m₀∈[0，1]，使得g（m₀）=f（m）成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-02-26

答案

（Ⅰ）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，
证明如下：设0≤x₁＜x₂≤1，
则f1(x)-f2(x)=x1+

1

x1+1

-x2-

1

x2+1

=(x1-x2)+

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵（x₁-x₂）＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，（x₁x₂+x₁+x₂）＞0，
∴f₁（x）-f₂（x）＜0，即f₁（x）＜f₂（x），
∴函数f（x）在[0，1]上的单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当m∈[0，1]时，f(m)∈[1，

3

2

]，
∵a＞0，g（x）=ax+5-2a在[0，1]上的单调递增，
∴m₀∈[0，1]时，g（m₀）∈[5-2a，5-a]．
依题意，只需[1，

3

2

]⊆[5-2a，5-a]，
∴

5-2a≤1 5-a≥ 3 2

，
解得2≤a≤

7

2

，
即 实数a的取值范围[2，

7

2

]．

（Ⅰ）设0≤x₁＜x₂≤1，计算f₁（x）-f₂（x）=

(x1-x2)(x1x2+x1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，可得函数f（x）在[0，1]上的单调递增．
（Ⅱ）当m∈[0，1]时，f(m)∈[1，

3

2

]，g（x）=ax+5-2a在[0，1]上的单调递增，g（m₀）∈[5-2a，5-a]．依题意[1，

3

2

]⊆[5-2a，5-a]，即

5-2a≤1 5-a≥ 3 2

，由此求得解得实数a的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的性质，属于中档题．